1 引言

　　LED 具有环保节能等优点，在道路照明、汽车前照灯、投影仪设备和扫描打印等领域得到了广泛的应用。为了解决LED 光源发光不均匀的问题，需要根据LED 光源特性和预期光度分布要求进行二次配光设计。按照设计对象划分，现在基于LED光源的非成像光学设计主要有自由曲面反射器和自由曲面透镜，其设计思想都是通过光学器件对光源光线的调制以达到在被照面上形成预期的照度分布的目的。在非成像光学设计中边缘光线理论是基本理论。针对LED 的自由曲面光学设计主要有以下几种方法: 2002 年Ries 等使用三维自由曲面裁剪法设计光学曲面，这个方法通过裁剪光学曲面控制波前方向，最终将光学曲面模型抽象为求解一组非线性偏微分方程，其缺点是不能根据指定的光学曲面进行设计。另一种方法是网格法，这种方法具有直观的优点，设计方法是根据光源与被照面之间的能量映射关系进行光线设计，通过迭代求解得到光学曲面的坐标点以确定透镜或者反射器的外形。第三种方法是基于微分几何的光学设计方法，丁毅等基于折射定律和光通守恒定律建立了自由曲面透镜的偏微分方程组，并使用数值计算的方法求解反射器的面型，这个方法的优点是目的性强且花费时间短，缺点是需要求解一组偏微分方程，求解与编程一般比较困难。

　　为了解决上述问题，本文根据LED 配光特性和矩形照度分布要求，基于微分几何理论和能量守恒原理建立自由曲面反射器模型，使用一阶偏微分方程描述自由曲面反射器，并将该设计流程与算法编译成自由曲面反射器设计软件，通过简单的交互操作就可以设计出符合要求的反射器，简化了设计步骤并降低了自由曲面反射器设计难度。

　　2 软件算法

　　2. 1 光线与自由曲面一般作用关系

　　我们在球坐标下研究自由曲面，假定自由曲面是一阶连续且正则。我们首先讨论自由曲面的法线、切线及其与光线的相互作用关系。如图1 所示，自由曲面上任意一点P，矢径�丱→P 可记为ρ( ρsinθcosφ，ρsinθsinφ，ρcosθ)，其中θ 和φ 分别为天顶角和方位角，ρ 为矢径�丱→P长度。

　　根据经典微分几何理论，自由曲面上P 点切向矢量分别为�� ρ /�� θ 和�� ρ /�� φ[14]。进一步，我们得到自由曲面的外向法向矢量为n = ( �� ρ /�� θ)( �� ρ /�� φ) ，其单位法向矢量记为n' = n / | n | 。

　　如图1 所示，入射光线和折射光线的单位矢量分别为I 和I'，入射光线与折射光线所在空间介质折射率分别为n1和n2。根据折射定律定律，有　

  (4)

　　对于非旋转对称光学器件表面，即�� ρ /�� φ≠0 时，联立式( 4) 两个等式得到

　　(5)

　　注意到式( 5) 适用于折射和反射情形。

　　2. 2 光源与被照面能量拓扑关系

　　以矩形照度分布为例分析光源与被照面能量拓扑关系，如图2 和图3 所示[15]。光线全部照射到矩形被照面上且照度均匀分布，根据能量守恒定律，有

　　其中I ( θ，φ) 为LED 光源光强分布，E ( x，y)为矩形被照面上照度分布，为常数。矩形被照面长度和宽度分别为l 和w，LED 近似为朗伯光源，配光I ( θ，φ) 取I0cosθ，计算得到

　　如图3 所示，对于不同的θ 范围内，有

　　其中X 和Y 分别表示对应第一象限矩形被照面顶点坐标且满足X /Y = l /w。计算得到

　　在第一象限，当0≤y < Y 时，即x = X = ( l /2) sinθ，( y /Y) = φ/ ( π/4) ，有y = ( 4φ/π) Y = ( 2φw/π)sinθ; 当y = Y 时，x = ( 4X/π) × [( π/2) - φ] =

　　( 2lsinθ/π) × [( π/2) - φ]，y = w2sinθ。综上所述，第一象限内LED 发光面上方位角为( θ，φ)的出射光线照射到路面上点Q 的坐标( x， y，z) 为

　　  (9)

　　软件中使用Runge-Kutta 法求解第一个边界条件得到ρ ( θ，π/2) ，再使用Lax-Friedrichs 格式求解一阶偏微分方程。