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    偏微分方程组求解自由曲面照明光学器件(第2页)
    来源:(同济大学建筑与城市规划学院,上海 200092) 作者:邹吉平 浏览:1960人次 发布:2013-09-27
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    本文详尽地推导了如何建立一种适用于照明配光设计的通用型偏微分方程组数学 模型,并以旋转对称型LED 透镜为例,采用梯形法求解微分方程初值数值解,得到一种余弦负二次方函数分布的配光曲线,验证了偏微分方程理论模型的正确可行性。

      2.6 偏微分方程组的建立

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      在求出自由曲面反射器 (或折射器) 表面上任意点P 处的切向量T 和法向量N后,由切向量与法向量垂直,即两者间满足内积等于零的关系,有公式 (15)成立。

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      根据公式 (1)~(15) 即可建立自由曲面反射器(或折射器) ρ (C,γ ) 满足的偏微分方程组,下面逐步讨论建立偏微分方程组的推导过程:

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      第一步,由公式 (1) 等式两端分别对C 和γ 分别求偏导数,得公式 (16), (17)

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      第六步,由公式(21), (23) 带入公式 (15) 得到公式 (24),由公式 (22), (23) 带入公式 (15) 得到公式 (25)

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      3.入射光线和出射光线间的对应关系

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      尽管公式 (26) 和 (27) 给出了入射光线、出射光线、反射或折射器表面间的数学关系,但由于公式中有5 个未知数,无法直接求解。在实际工程应用中,光源的光强空间分布特征通常是已知的,而设计目标的光强分布特征是给定的,所以,根据这两个已知条件,就可以把任意出射光线向量ρ(θ, φ)和入射光线向量ρ(C, γ)一一对应起来。

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      本节以旋转对称透镜设计为例,如图3 所示,光源的光强分布特性为余弦朗伯型,设计出的透镜在ϕ≤ 60°范围内具有余弦函数负二次方特性,并假设透镜的折射率为1.5,其内表面为半球形,光线经过内表面不发生折射现象,所有光强重新分配的功能完全由透镜外表面完成。

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      若图3 的截面图位于图1 中的XOZ 平面内,则在图1 所示的XOZ 正半平面内,入射光线ρ(C, γ)的C 角度恒等于0,由于透镜具有旋转对称特性,则出射光线向量ρ(θ, φ)也应该在XOZ 正半平面内,即θ也恒等于0。基于这些假设条件,得到公式(26) 恒等于0 的结论,而公式 (27) 也可简化成公式 (28)。

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      由于光源的光强分布特性为朗伯型,设计透镜把朗伯型光源重新分配成余弦负二次方的光强分布特性,两者间的光强分布函数可以表示成公式 (29)。

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      如假设发生折射前后无能量损失,则根据光通量的积分计算方法得到公式(30) ,且该积分公式的右端应该相等。

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      根据自由曲面特征曲线的起点和终点上的入射和出射对应关系,即当γ ∈[0°,90° ],ϕ ∈[0° ,60°]时,假设有公式 (31) 的对应关系,则可求解出待定系数μ1 ,μ2的值,从而得到入射光线向量和出射光线向量间的方位角函数表达式,如公式 (32) 所示。

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      4. 光学建模与仿真计算

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      根据上一节的推导结果,如假设在γ =0o°时ρ = 10,则公式 (33) 即可采用微分方程的初值数值解法求解。常用的微分方程初值数值求解方法有欧拉法、梯形法、泰勒级数法、龙格库塔法等,本文不再赘述。

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      在求解出自由曲面的特征曲线后,即可导入ProE、Solidworks、Catia、UG 等三维建模软件,建立透镜和光源的三维模型,如图4 所示,导入光学软件后,即可模拟出配光曲线图,如图5 和图6 所示。从图5 和图6 可以看出,出射光线的光强分布基本上符合余弦负二次方函数分布,在ϕ = 60°的光强值约为ϕ =0°光强值的4倍,在ϕ = 45°的光强值约为ϕ =0°光强值的2 倍,说明本文的理论分析与实际是一致的。

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    编辑:Cedar

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    中照网网友 在2021-1-11 9:45:39发表 
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    shiyong
    中照网网友 在2016-12-29 17:53:27发表 
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    中照网网友 在2016-6-2 11:44:56发表 
    这个确实是事实,可是国家一边为了照顾经济发展,一边又没有投入资金对企业进行辅导,确实让企业也茫然。是无奈还是放任,这需…
    中照网网友 在2016-5-19 11:36:38发表 
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