偏微分方程组求解自由曲面照明光学器件[2]

　　2.6 偏微分方程组的建立

　　在求出自由曲面反射器 (或折射器) 表面上任意点P 处的切向量T 和法向量N后，由切向量与法向量垂直，即两者间满足内积等于零的关系，有公式 (15)成立。

　　根据公式 (1)~(15) 即可建立自由曲面反射器(或折射器) ρ (C,γ ) 满足的偏微分方程组，下面逐步讨论建立偏微分方程组的推导过程：

　　第一步，由公式 (1) 等式两端分别对C 和γ 分别求偏导数，得公式 (16), (17)

　　第六步，由公式(21), (23) 带入公式 (15) 得到公式 (24)，由公式 (22), (23) 带入公式 (15) 得到公式 (25)

　　3.入射光线和出射光线间的对应关系

　　尽管公式 (26) 和 (27) 给出了入射光线、出射光线、反射或折射器表面间的数学关系，但由于公式中有5 个未知数，无法直接求解。在实际工程应用中，光源的光强空间分布特征通常是已知的，而设计目标的光强分布特征是给定的，所以，根据这两个已知条件，就可以把任意出射光线向量ρ(θ, φ)和入射光线向量ρ(C, γ)一一对应起来。

　　本节以旋转对称透镜设计为例，如图3 所示，光源的光强分布特性为余弦朗伯型，设计出的透镜在ϕ≤ 60°范围内具有余弦函数负二次方特性，并假设透镜的折射率为1.5，其内表面为半球形，光线经过内表面不发生折射现象，所有光强重新分配的功能完全由透镜外表面完成。

　　若图3 的截面图位于图1 中的XOZ 平面内，则在图1 所示的XOZ 正半平面内，入射光线ρ(C, γ)的C 角度恒等于0，由于透镜具有旋转对称特性，则出射光线向量ρ(θ, φ)也应该在XOZ 正半平面内，即θ也恒等于0。基于这些假设条件，得到公式(26) 恒等于0 的结论，而公式 (27) 也可简化成公式 (28)。

　　由于光源的光强分布特性为朗伯型，设计透镜把朗伯型光源重新分配成余弦负二次方的光强分布特性，两者间的光强分布函数可以表示成公式 (29)。

　　如假设发生折射前后无能量损失，则根据光通量的积分计算方法得到公式(30) ，且该积分公式的右端应该相等。

　　根据自由曲面特征曲线的起点和终点上的入射和出射对应关系，即当γ ∈[0°,90° ]，ϕ ∈[0° ,60°]时，假设有公式 (31) 的对应关系，则可求解出待定系数μ1 ,μ2的值，从而得到入射光线向量和出射光线向量间的方位角函数表达式，如公式 (32) 所示。

　　4. 光学建模与仿真计算

　　根据上一节的推导结果，如假设在γ =0o°时ρ = 10，则公式 (33) 即可采用微分方程的初值数值解法求解。常用的微分方程初值数值求解方法有欧拉法、梯形法、泰勒级数法、龙格库塔法等，本文不再赘述。

　　在求解出自由曲面的特征曲线后，即可导入ProE、Solidworks、Catia、UG 等三维建模软件，建立透镜和光源的三维模型，如图4 所示，导入光学软件后，即可模拟出配光曲线图，如图5 和图6 所示。从图5 和图6 可以看出，出射光线的光强分布基本上符合余弦负二次方函数分布，在ϕ = 60°的光强值约为ϕ =0°光强值的4倍，在ϕ = 45°的光强值约为ϕ =0°光强值的2 倍，说明本文的理论分析与实际是一致的。

编辑：Cedar