0 引言

　　随着单个发光二极管(LightEmihingDiode，LED)光通量的不断提高，LED在照明领域的应用越来越广，但LED与传统光源存在着很大的差异，传统照明系统的光学设计与结构不能充分发挥LED光源的优势，因此需要针对LED的特点进行配光设计，提高整个系统的性能。

　　LED的发光旋转对称，若要照明其他形状的目标面，需借助其他光学器件，如液晶显示器(LiquidCrystalDisplay，LCD)投影仪通过复眼透镜，数字光处理器(DigitalLightProcessor，DLP)通过方棒及透镜组实现对LCD或数字微镜(DigitalMicro-mirrorDevice，DMD)面板的均匀矩形照明。但是这样增加了系统的复杂度，光线在方棒内表面的多次反射以及通过透镜时的损耗也会降低系统光能利用率。

　　通过自由曲面对LED进行配光设计可解决上述问题。自由曲面设计基于的非成像光学理论起源于上世纪六十年代中期，从能量传递的角度对光学系统进行研究。1974年Schruben提出实现均匀圆形照明的自由曲面反光器;2002年HaraldRies提出可投射出OEC字样的自由曲面透镜。

　　目前自由曲面多应用均匀性要求不高的大面积照明或车前灯反光碗中，以及用于光电及通讯产品，如用于光纤连接器及显示器的V形微槽阵列、用于显示设备背光模组的微镜阵列和用于激光打印机及扫描仪的F-theta透镜等。美国Precitech公司生产的超精密多轴自由曲面加工机床可以加工具有非对称轴的光学自由曲面和光学微结构器件，国内也有许多有关自由曲面加工检测方面的研究。

　　设计方法有两种，一种是试错法，但是计算过程较长，且初始结构的选取也很重要。另一种是通过求解一组偏微分方程来得到面形数据，但以往的设计都无法得到均匀性较高的矩形照明。

　　本文采用自由曲面透镜进行LED配光设计：LED出射光分别经过透镜的第一面球面和第二面自由曲面的折射之后，在特定平面上实现一定形状的均匀照明。自由曲面面型数据通过求解偏微分方程组得到，不必借助专业的光学设计软件，计算速度快。此偏微分方程组根据Snell定律，并结合立体坐标系思想以及能量守恒，根据光源的发光特性和所需的照明推导得出。并且当光源或照明分布变化时，偏微分方程组也会有所变化，从而得到不同的自由曲面。

　　本文以发光角为180°的单个LED为光源，分别实现正方形、4：3矩形、正八边形的均匀照明。最后用软件进行了模拟，模拟结果验证了理论设计的可行性。

　　1 偏微分方程组

　　为构建上述方程组，如图1，首先设光源S位于直角坐标系的原点，照明面T上的点坐标为t(z，y，z)。自由曲面P上的点P用原点与上述直角坐标系重合的球坐标系表示，即(θ，φ，p(θ，φ))，且p点处的法矢为N，设J为光源出射光经第一面球面折射后入射至点P的光线矢量，而O为点P至点t经自由曲面P之后的折射光线矢量。

　　图1 矢量关系

　　式中N、I以及O均为单位矢量，在直角坐标系下可表示为

　　根据Snell定律可得上述三矢量间的关系式，由N可知自由曲面点P处的斜率，而I以及O 与点P和点t的坐标有关，因此可以用点P的坐标以及斜率来表示点t的坐标，如式(4)和(5)

　　式中ni和no分别表示自由曲面处入射和出射介质的折射率，Nx,Ny以及Nz包含了p(θ，φ)在θ和φ方向上的一阶偏微分，与点P处的斜率有关。

　　同时光线的传播还必须遵守能量守恒定律，即光源的输出应等于目标面内的能量。设光源的发光角为西，则光源的辐射能与目标面照明之间的关系如式(6)

　　式中E(t)为点t处的照度，J(I(φ))为I(φ)方向上的光强，A为照明面面积，式(6)的具体形式与光源与目标面之间的拓扑关系有关。当目标面T已知，即z，y，z坐标值已知，由式(6)可得θ和φ1的表达式。由于第一面为球面，光源出射光经折射后的矢量I在θ方向上的分量不变，而φ1与自由曲面上的参量ρ和φ有关，将此代入式(4)和(5)中，可得p(θ，φ)在θ和φ方向上的一阶偏微分方程组。由于求得解析解比较困难，一般采用数值方法求解。

　　2 自由曲面透镜的设计

　　当自由曲面为反射面时，式(4)和(5)中的折射率为nl=-n0，为折射的一种特殊情况。本文主要讨论自由曲面透镜的设计，为简化计算，设单色LED的发光面位于x-y平面，且中心位于原点。LED为1×1mm²的朗伯发光面，发光角180°，透镜的第一面为球冠，球冠的高小于半径，对光源出射光起一定收束作用。在计算自由曲面时，球冠半径、高以及自由曲面的顶点坐标作为偏微分方程的初始条件，理论上可以是任意值，在实际设计中，则应根据。透镜的尺寸要求选取合适的值。这里设球面半径50mm，高5mm，顶点坐标为(0，0，5)，自由曲面的顶点距光源10mm，透镜折射率为1.5。目标面T为垂直于z轴的矩形，长边44mm，短边33mm，中心点坐标(O，0，30)，如图2。

　　图2  LED折射照明系统