LED相对于自由曲面透镜的尺寸足够小，光源可视为点光源。光源出射光经球面镜折射一次后入射至自由曲面，此时

　　光源出射角为φ1，在球面上的入射与出射角分别为a1，和a2，如图3，则知

　　图3　光线在球面上的折射

　　且在θ相同的情况下，自由曲面的面型参量与φ1、a1和a2的关系为

　　式中R为球面镜的半径，由解析几何可得a1和a2与φ1的函数表示。

　　当目标面为均匀照明时，式(6)中的E(t)为E，考虑到LED的朗伯发光特性并且旋转对称，可得

　　自由曲面的球坐标投影到目标面上即成极坐标，因为所需照明面为矩形，采用图4的拓扑关系，即相同φ角的光线被折射至同一矩形的直角边上，并将式(10)代入式(6)，式(6)可转化为

　　图4　光源与目标面的拓扑关系

　　式中X和Y为矩形顶点在第一象限的坐标值，当φ1确定之后，在第一象限的口值可表示为

　　式中z’和Y’为目标面上点t的坐标，同理可得θ在其他三个象限的值。由于目标面确定，x、y和z的值为已知。

　　将式(8)、(9)、(11)和(12)代入式(4)和(5)，式(4)和(5)的未知项变为p(θ，φ)及其在θ和φ方向上的偏微分。按图4的网格对方程组进行离散，利用差分法求解可得各θ、φ所对应的p(θ，φ)值，此数值解代表了自由曲面的面形，且当光源发光特性，目标面照明要求，第一面球面的参量以及第二面自由曲面的起始点坐标确定时，解为唯一.编程求解所需时间少于20s。理论上利用这些数据点所得到的自由曲面应该是光滑的，但是将数据导入建模软件之后，软件会根据自身的算法对曲面进行变形，造成误差。因此本文在建模时也对曲面进行离散，以减少建模软件的影响。此时得到的自由曲面透镜的面形如图5，由各小面组成，每小面之间有一定的间隙，用平面拼接，每个小面的边缘在x-y平面上的投影重合。

　　图5　自由曲面透镜

　　3　模拟结果

　　将该自由曲面导入照明设计软件进行光学模拟，用朗伯发光的1×1mm²矩形面来模拟LED光源，模拟结果如图6，模拟计算100万条光线。

　　图6　为模拟结果

　　图6(b)和6(c)分别为过矩形中心且平行矩形两边的直线方向上的照度分布，从图6可以看出，照度均匀性约为90%，光斑周围有一亮圈，其照度要低于中心区域，这是由于在计算过程中将LED光源近似为点光源，以及模拟计算时引入的平滑算法所致。从图6(a)中可以看出，靠近对角线的方向上照度略微下降，这是因为建模时整个自由曲面是由若干子面拼接起来的，在接缝处存在着光线的吸收。从图4可知，对角线方向上的光线其偏折角度最大，因此光线被吸收的几率也最大，造成此处照度的下降。

　　利用此方法还可以得到其他各种形状，如正方形，正八边形等，此可使用于多种照明情况，模拟结果如图7。

　　团7　软件模拟正方形和正八边形照明

　　4　结论

　　文提出了一种自由曲面透镜的设计方法，已知光源发光特性以及所需的照明要求，推导出一组可计算自由曲面面形的一阶偏微分方程，并利用数值解法直接得到自由曲面。由于曲面通过求解方程得到，不必依靠于传统的光学设计软件，不用试错法，不需优化，计算速度快，通过编程在几十s之内就可以得到面形数据。利用此自由曲面透镜对LED进行配光设计，可改善照明均匀性，实现特定形状的照明，提高照明系统的能量利用率。但建模时由于软件带来的误差，致使只能通过离散面的拼接来构建整个自由曲面，各离散面之间的问隙会造成部分光线的吸收，影响了照明均匀性和能量利用率。解决的办法就是寻找一种更为合理的建模方式，根据计算所得的数据构造一个光滑的自由曲面，对于非朗伯发光的LED。可以根据环带常量积分法计算各dφ内的光通量，再对方程组进行离散。理论上来讲此设计方法适用于所有类型的LED，因此该技术的应用前景非常诱人，可用于LED投影仪、路灯以及车前灯反光碗的设计等等。

编辑：Cedar