偏微分方程组求解自由曲面照明光学器件[1]

　　1. 引言

　　自由曲面的灵活空间布局和设计自由度，不仅可以在成像光学中提高光学系统的像质，还可以在照明系统中重新分布光源光强，方便灵活地实现配光曲线设计。尽管自由曲面实现配光曲线设计简单实用，但面对自由曲面设计过程中复杂的数学关系，许多设计者也只能望洋兴叹。本文详细论证了建立适用于配光设计的偏微分方程组的数学推导过程，得出一种通用型偏微分方程组的显式表达式，并采用微分方程初值数值解法的梯形法求解出一种旋转对称型LED 透镜的自由曲面特征曲线。

　　2.数学模型的建立

　　2.1 坐标系统的定义

　　灯具的空间光度数据通常采用A-α，B-β和 C-γ三种坐标系统，其中C-γ坐标系统具有4π球面度空间，它往往比2π球面度空间的A-α，B-β坐标系统应用更广泛。如图1 所示的三维直角坐标系中，点光源位于坐标系的原点O，从原点O 发出的光，到达自由曲面上任意一点O′后，经自由曲面反射或折射到点R，则向量OO'即为入射光线向量，O ' R 为反射或折射光线向量。

　　在图1 中，若以直角坐标系的坐标原点O 为C-γ 球坐标系的球心，则自由曲面上的任意一点O′可以表示为ρ(C, γ)，角度C 为向量OO '在XOY 平面上的投影与X轴正方向的夹角，角度γ为向量OO '与Z轴正方向的夹角;若以点O′为球坐标系的球心，则反射光线向量O ' R 可以表示为ρ(θ,φ)，其中角度θ为向量O ' R 在XOY平面上的投影与X轴正方向的夹角，角度φ为向量O ' R 与Z轴正方向的夹角。假定点O′是自由曲面上的任意点，在三维直角坐标系中可以表示为O(x, y, z)，而在球坐标系中可以表示为ρ(C,γ)，则有公式 (1) 成立。

　　2.2 入射光线的数学表达式

　　入射光线向量OO '可以根据O(x, y, z)的坐标表示成向量的代数表达式 (2)，若把公式 (1) 带入 (2) 可得公式 (3)，若只考虑入射光线的方向时，采用入射光线的单位向量I o 表示入射光线的方向更便利，可由公式 (3) 得到单位向量I o 的数学表达式 (4)。

　　2.3 反射或折射光线的数学表达式

　　同入射光线向量类似，反射光线向量O ' R 可以根据O(x, y, z)和R(x’, y’, z’)的坐标表示成代数表达式 (5)，还可以表示成极坐标表达式ρ(θ, φ)，两者间的转换关系可由公式 (6) 得出，由公式 (6) 带入 (5) 得到公式 (7)。若只考虑反射或折射光线的方向时，采用单位向量R o 表示反射或折射光线的方向更便利，可由公式 (7) 得到单位向量R ° 的数学表达式 (8)。

　　2.4 法向量的数学表达式

　　入射光线与反射光线关于自由曲面上的任意入射点处的法线量对称，而入射光线在入射点处与折射光线和法向量之间满足折射定律，因此，自由曲面上的任意点法向量N 可以由入射光线的单位向量I°和反射光线的单位向量R°表示出来，图2-A 示意了入射光线、反射光线与法向量之间的几何关系，法向量则可用反射光线单位向量减去入射光线单位向量得到;图 2-B 和 2-C 示意了入射光线、折射光线与法向量之间的几何关系，当光线从玻璃进入空气中时，法向量等于折射光线单位向量缩小玻璃折射率n 倍数后的向量减去入射光线单位向量;当光线从空气进入玻璃中时，法向量等于折射光线单位向量减去入射光线单位向量缩小玻璃折射率n 倍后的向量。

　　图2 法向量与反射光线、折射光线、入射光线的关系

　　当不关注法向量的大小而只关注其方向时，以上三种情况可由公式 (9) 统一表示，公式中的R n 为折射(或反射)光线所在介质中的折射率， I n 为入射光线所在介质中的折射率。

　　2.5 切向量的数学表达式

　　若反射(或折射)器表面上任意一点P 的邻域σ 内有两点ρ1( x1,y1 ,z1 ) 和ρ2( x2, y 2,z2)，从坐标原点发出的光线到这两点的入射光线分别用向量I1 和 I2 表示，其代数表达式如公式 (10) 和公式 (11) 所示。若该邻域足够小时，I1 和I2 两向量之差即为反射器表面的切向量T ，即：切向量可由公式 (12) 表达。

　　把公式(10) 和 (11) 带入公式 (12) 有公式 (13), 该公式中的Δx,Δy,Δz表示自由曲面上点P邻域σ 内两点间连线在X,Y,Z坐标轴上的投影。

　　假设自由曲面反射器表面在定义域区间内连续可导，当σ →0时，Δx,Δy,Δz可以由反射器表面上的点P 在各坐标轴X,Y,Z 方向上的偏导数表示出来，即有公式成立。